进行预测，其预测公式为

（5）

其中，

（6）

式（6）表示干扰源状态的集马尔科夫密度函数。更新：融合中心站在接收 时刻的各URA的测向角度信息 之后，对预测的集PDF 进行更新，从而得到对于条件后验集PDF 的估计 ，其更新公式为

（7）

式中， 表示集似然函数。由于各个URA的观测过程相互独立，且URA 的似然函数为  ，因此可得

（8）

在估计出 后，进而可从中提取出对干扰源状态的估计 ，从而实现对干扰源的跟踪^［17-20］。综上，基于集贝叶斯滤波器的干扰源跟踪方法的流程图如图2红色虚线框所示。作为对比，图2的黑色虚线框展示了传统的“测向-定位-跟踪”的三段式干扰源跟踪方法的流程。

图2   本文所提方法与传统三段式跟踪方法流程图Fig.2   Flowcharts of the proposed approach and the traditional three-steps tracking approach

3.2　基于集贝叶斯滤波器的通信受限时的干扰源跟踪方法

本小节研究DoS通信受限信道模型对基于集贝叶斯滤波器的干扰源跟踪方法的影响。将URA  与融合中心站之间的信道称为信道。若信道 遭到DoS干扰，则信道通信质量变差，将产生一定概率丢包。不妨设丢包率为 ，则融合中心站收到URA  的信息 将有 的概率为空集，有 的概率为 ，则 可用一伯努利RFS建模。伯努利RFS是指具有如下形式的RFS，

（9）

根据伯努利RFS的集概率密度函数公式^［15-16］，可得在DoS通信受限信道下，融合中心站收到URA  的信息将是具有如下形式的集PDF，

（10）

由于各个URA 的观测过程相互独立，且假定各个信道是否受DoS干扰相互独立，则

（11）

鉴于未受到DoS干扰的信道，其传递的信息 可看作是丢包率为0的特殊的伯努利RFS，因此，式（11）可看作是一个多伯努利RFS。特别地，考虑最坏情况，即所有的信道均遭受DoS干扰，则式（11）表征的多伯努利RFS的似然函数可表示为^［15-18］

（12）

值得注意的是，式（11）描述了信道不受限、信道受DoS干扰两种情况下的融合中心站收到的测量信息 。具体为：（1）当 为丢包率为0的特殊的多伯努利RFS时，式（11）表征了信道不受限时的融合中心站收到的测量信息，其对应的似然函数为式（8）；（2）当部分信道通信受限时， 为多伯努利RFS，式（11）表征了遭受DoS干扰时融合中心站收到的测量信息，并可求出对应的似然函数，特别地，当最坏情况发生时，其似然函数为式（12）。因此，将通信受限情况下的式（11）对应的似然函数例如式（12）代入到式（5）~（7）中，则实现了基于集贝叶斯滤波器的通信受限时的干扰源跟踪。对于式（5）~（7），由于涉及到集合积分等复杂运算，通常采用粒子近似的方式实现。为进一步提升计算效率，学术界提出了概率假设密度滤波器、多伯努利滤波器等方法，亦可用于式（5）~（7）的运算，读者可参见文献［20-25］。

 4 仿真结果及分析 

本节展开仿真实验，以分析本文所提的基于集贝叶斯滤波器的通信受限时的干扰源跟踪方法的跟踪性能，并与已有的“测向-定位-跟踪”的三段式干扰源跟踪方法展开对比。仿真条件如下。考虑由4架URA 对二维区域（ ）内的干扰机进行测向、定位、跟踪，干扰机的初始状态为 ，采样间隔 ， ，

4架URA 的位置如图3所示，其观测方程均服从式（3）且噪声方差为 ，其中测角标准差为 。

图3   仿真场景Fig.3   Simulation case

本节采用粒子近似的方式实现集贝叶斯滤波器，粒子数目设为2000。同时，采用已有的“测向-定位-跟踪”的三段式干扰源跟踪方法作为本文所提方法的对比，其中，定位采用基于最小二乘的交叉定位算法，交叉定位输出的干扰源位置及定位误差作为卡尔曼滤波器的输入，经卡尔曼滤波器进行跟踪，从而输出目标干扰源航迹。图4和图5分别展示了本文所提方法和三段式干扰源跟踪方法对干扰源的跟踪结果。其中，图4展示了干扰源真实运动轨迹、本文所提方法的跟踪航迹和三段式跟踪方法的跟踪航迹，图5展示了本文所提方法和三段式跟踪方法对应的跟踪均方误差。从图4、图5中可看出：一方面，本文所提方法的整体跟踪均方误差要小于三段式跟踪方法的跟踪均方误差；另一方面，在三段式跟踪方法中由于存在交叉定位产生的虚假定位点，不仅导致跟踪航迹存在跳跃，而且使得均方误差存在较大的变化。

图4   不同跟踪方法对干扰源的跟踪结果Fig.4   The tracking results of different approaches

图5   不同跟踪方法的均方误差Fig.5   The mean square errors of different approaches